Zadania seminára Malynar, 30. ročník - Letný semester


Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise Malynar-30-5
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise Malynar-30-6
Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Obrus mal tvar štvorcovej mriežky $6\times6$. V nej boli vypálené dve sivé diery, ktoré vytvorili na obruse trojuholníkový vzor ako na obrázku. Aký obsah sa dráčikovi podarilo vypáliť?
obrazok
2. Výberu na ligu vo wingbale sa zúčastnili $4$ dráčikovia. Každý dráčik hral práve raz proti každému inému dráčikovi. Vidíte nasledujúcu tabuľku zápasov, kde je zaznačený počet výhier, remíz a prehier jednotlivých dráčikov a aj celkové skóre daného dráčika za všetky zápasy (ak je skóre $6:2$, tak to znamená, že vo všetkých zápasoch dokopy $6$ gólov dal a $2$ dostal). Zistite, akým výsledkom skončil zápas medzi Brunom a Chrisom?
Výhry Remízy Prehry Skóre
Dalibor 2 1 0 6:2
Chris 1 1 1 1:2
Bruno 0 2 1 2:3
Albert 0 2 1 0:2
3. Draci stáli v zástupe otočení dopredu. Niektorí z nich sú klamodraci a vždy klamú, niektorí sú pravdodraci a vždy hovoria pravdu. Každý tvrdí, že pred sebou vidí viac klamodrakov, než pravdodrakov. Dokážte, že je v zástupe aspoň toľko klamodrakov, koľko pravdodrakov (chceme ukázať, že to platí vždy, aj keď nevieme, koľko presne drakov je dokopy v zástupe).
4. Dalibor spolu s ockom rozložili na stôl $19$ kamienkov. Postupne sa striedajú v ťahoch (Dalibor začína) a každý z nich si vždy zoberie $2$, $3$ alebo $4$ kamienky. Ten z nich, ktorý už nemá z čoho ťahať, prehráva. Existuje pre niektorého z nich víťazná stratégia? Ak áno, ukážte aká a ak nie tak prečo?
5. Drago sa snažil usporiadať medaily do štvorca, ktorý je tvorený niekoľkými riadkami a rovnako veľa stĺpcami, ktoré sú celé zaplnené medailami (napr. na vyplnenie štvorca $3\times3$ potrebuje práve $9$ medailí). Avšak nepodarilo sa mu to, lebo mu ostalo $89$ medailí. Skúsil teda štvorec zväčšiť o jeden riadok a stĺpec, no ani to sa mu nepodarilo, ostalo mu $50$ medailí. Koľko medailí má Drago dokopy?
6. Na žrebíku sú v políčkach tabuľky $3\times3$ napísané čísla od $1$ do $9$, každé práve raz. Čísla sú rozmiestnené tak, že každý zo štyroch $2\times2$ blokov (v rohoch tabuľky) má rovnaký súčet čísel v ňom. Aký najväčší môže byť tento súčet? Vysvetlite, prečo sa väčší súčet určite nedá dosiahnuť a nakreslite rozmiestnenie čísel v tabuľke pri najväčšom súčte.

Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise Malynar-30-5
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise Malynar-30-6
Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Dalibor sa snaží zistiť číslo domu hostinca. Okolopopíjajúci o ňom povedali nasledovné:
  • Peťo: Číslo je násobkom $3$.
  • Kubo: Číslo je násobkom $6$.
  • Martin: Číslo je násobkom $2$.
  • Dano: Číslo je násobkom $4$.
  • Spišo: Číslo je väčšie ako $10$.
Prezradili ešte, že práve jeden z nich nehovoril pravdu. Kto to bol? Najmenšie číslo, ktoré spĺňa štyri z uvedených výrokov a jeden nespĺňa, je číslo hostinca. Aké číslo má hostinec?
2. Pomocníci chodia na vodu k potoku. Vedierko každého z pomocníkov je inak veľké: majú objemy $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ a $9$ litrov. Pomocníci si vedierka medzi sebou nepožičiavajú a vždy ich prinesú úplne plné vody.
  • Števo prinesie vo svojom vedierku viac vody ako Samo.
  • Matúš by musel ísť po vodu trikrát, aby priniesol práve toľko vody, koľko Erik v jednom svojom vedierku.
  • Jančiho vedierko je len o dva litre väčšie ako Samove.
  • Sám Ľubo prinesie toľko vody, koľko Matúš a Samo dokopy.
  • Keď idú po vodu Janči a Ľubo, prinesú rovnako veľa vody ako Kubo, Števo a Samo dokopy.
Koľko vody prinesú Števo a Ľubo dohromady?
3. Nezbedník písal na tabuľu do radu čísla. Začal tým, že napísal $5$ a $17$. Potom pokračoval nasledovne: Ak bolo posledné napísané číslo deliteľné $3$, tak ako ďalšie číslo napísal tretinu tohto posledného čísla. Inak napísal súčet posledných dvoch čísel, ktoré boli na tabuli. Aké číslo napísal ako $157.$?
4. Elfovia mali $2$ hracie kocky, jednu červenú a jednu modrú. Na rozdiel od normálnych kociek na nich neboli čísla od $1$ do $6$. Na červenej kocke boli čísla $1$, $2$, $2$, $3$, $3$, $4$. Na modrej kocke bolo $6$ celých čísel väčších ako $0$. Vieme, že každý súčet dvoch čísel na týchto dvoch kockách môže elf hodiť rovnako veľa spôsobmi ako keby tieto kocky mali na stenách klasicky čísla od $1$ do $6$. (Napríklad súčet $4$ vieme dvoma klasickými kockami hodiť ako $1+3$, $2+2$ a $3+1$. Musia teda existovať práve $3$ spôsoby ako hodiť súčet $4$ aj našimi elfskými kockami - červenou a modrou.) Aké čísla boli na modrej kocke?
5. Mapa trasy bola v tvare trojuholníka $ABC$ v ktorom platí, že $|AC| > |AB|$. Na jeho strane $AC$ sa medzi bodmi $A$ a $C$ nachádza mesto $D$ tak, aby platilo $|AB| = |AD|$. Vieme navyše, že rozdiel uhlov $ABC$ a $ACB$ (v tomto poradí) je $30$ stupňov. Zistite veľkosť uhla $CBD$.
6. Na stole je položených do radu niekoľko mincí, niektoré rubom nahor a niektoré lícom. Mince si Dalibor pozrie, odíde z miestnosti a skúšajúci za jeho neprítomnosti odoberie jednu mincu. Ostatné mince môže poobracať nasledujúcim spôsobom: vyberie si nejaké dve ľubovoľné mince a obe ich obráti, potom si môže vybrať ďalšie dve ľubovoľné mince a obrátiť ich atď...Tento postup môže opakovať koľkokrát chce. Potom Dalibora zavolá späť a dovolí mu si prezrieť ako sú aktuálne mince otočené. Na záver mu položí otázku, či odobral rub alebo líc. Dokáže to Dalibor s istotou zistiť? Ak áno, tak ako? Ak nie, tak prečo?

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu