Ovečky boli na turnaji, kde hrali niekoľko zápasov. Každý zápas hrali dve ovečky, z ktorých jedna vyhrala a druhá prehrala. Každá ovečka, ktorá dvakrát prehrala, bola z turnaja vyradená. Po \(45.\) zápase zvýšila už len jediná ovečka, ktorá sa teda stala vı́ťazkou. Zistite, či mohla vı́ťazná ovečka prejsť celým turnajom bez prehry a určte, koľko bolo ovečiek v turnaji. Svoju odpoveď zdôvodnite.

Ovečky boli na turnaji, kde hrali niekoľko zápasov. Každý zápas hrali dve ovečky, z ktorých jedna vyhrala a druhá prehrala. Každá ovečka, ktorá dvakrát prehrala, bola z turnaja vyradená. Po \(45.\) zápase zvýšila už len jediná ovečka, ktorá sa teda stala vı́ťazkou. Zistite, či mohla vı́ťazná ovečka prejsť celým turnajom bez prehry a určte, koľko bolo ovečiek v turnaji. Svoju odpoveď zdôvodnite.

Kravičky sú poctivé a vždy hovoria len pravdu, avšak mačičky sú prefíkané, a tak vždy klamú. Vieme, že všetkých spolu je dokopy \(10\) a že sedia v kruhu tak, že každé zvieratko vidí \(9\) ďalších. Päť z nich vyhlási:

• „Vidím práve jednu mačičku.“
• „Vidím práve päť kravičiek.“
• „Vidím dvakrát toľko mačičiek ako kravičiek.“
• „Vidím práve sedem mačičiek.“
• „Vidím práve deväť kravičiek.“

Kravičky sú poctivé a vždy hovoria len pravdu, avšak mačičky sú prefíkané, a tak vždy klamú. Vieme, že všetkých spolu je dokopy \(10\) a že sedia v kruhu tak, že každé zvieratko vidí \(9\) ďalších. Päť z nich vyhlási:

• „Vidím práve jednu mačičku.“
• „Vidím práve päť kravičiek.“
• „Vidím dvakrát toľko mačičiek ako kravičiek.“
• „Vidím práve sedem mačičiek.“
• „Vidím práve deväť kravičiek.“

V súhvezdí tvaru obdĺžnika \(ABCD\) so stranou \(AD\) dĺžky \(5\) leží bod \(P\) tak, že trojuholník \(APD\) je rovnostranný. Keď si predĺžime úsečku \(AP\), tak pretne stranu \(CD\) v bode \(E\), pričom úsečka \(CE\) meria \(5\). Určte, aká dlhá je úsečka \(AE\) a aká je veľkosť uhla \(AEB\).
S touto úlohou vám môže pomôcť edukačné okienko.

V súhvezdí tvaru obdĺžnika \(ABCD\) so stranou \(AD\) dĺžky \(5\) leží bod \(P\) tak, že trojuholník \(APD\) je rovnostranný. Keď si predĺžime úsečku \(AP\), tak pretne stranu \(CD\) v bode \(E\), pričom úsečka \(CE\) meria \(5\). Určte, aká dlhá je úsečka \(AE\) a aká je veľkosť uhla \(AEB\).
S touto úlohou vám môže pomôcť edukačné okienko.

Martin a Štyri hrajú hru, v ktorej sa striedajú v ťahoch počnúc Martinom. Vytvoria kruh so \(123\) ďalšími vedúcimi a v každom ťahu musí hráč poslať von z kruhu práve jedného zo svojich susedov vľavo alebo vpravo. Vyhrá ten, kto pošle toho druhého von z kruhu. Pre ktorého z hráčov existuje výherná stratégia a aká? Výherná stratégia je postup, podľa ktorého, keď jeden hráč hrá, tak vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.

Martin a Štyri hrajú hru, v ktorej sa striedajú v ťahoch počnúc Martinom. Vytvoria kruh so \(123\) ďalšími vedúcimi a v každom ťahu musí hráč poslať von z kruhu práve jedného zo svojich susedov vľavo alebo vpravo. Vyhrá ten, kto pošle toho druhého von z kruhu. Pre ktorého z hráčov existuje výherná stratégia a aká? Výherná stratégia je postup, podľa ktorého, keď jeden hráč hrá, tak vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.

Veža má tvar osemuholníka, ktorého uhly sú všetky tupé (majú viac ako \(90^\circ\) a zároveň menej ako \(180^\circ\)) a žiadne dva nie sú rovnako veľké. Navyše platí, že veľkosť každého z uhlov je násobkom \(9\). Určte veľkosti všetkých uhlov.
S touto úlohou vám môže pomôcť edukačné okienko.

Veža má tvar osemuholníka, ktorého uhly sú všetky tupé (majú viac ako \(90^\circ\) a zároveň menej ako \(180^\circ\)) a žiadne dva nie sú rovnako veľké. Navyše platí, že veľkosť každého z uhlov je násobkom \(9\). Určte veľkosti všetkých uhlov.
S touto úlohou vám môže pomôcť edukačné okienko.

Na zámku bola vyrytá číselná os s číslami a na nej spomedzi všetkých čísel vyznačených \(15\) z nich: \(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192,\) \(16384\). Na otvorenie dverí je potrebné označiť také číslo, ktoré malo najmenší súčet vzdialeností od všetkých \(15\) zvýraznených čísel. Ktoré to je číslo?

Na zámku bola vyrytá číselná os s číslami a na nej spomedzi všetkých čísel vyznačených \(15\) z nich: \(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192,\) \(16384\). Na otvorenie dverí je potrebné označiť také číslo, ktoré malo najmenší súčet vzdialeností od všetkých \(15\) zvýraznených čísel. Ktoré to je číslo?

Na odomknutie dverí nájdite a zadajte najväčšie číslo, pre ktoré platí, že:

• Každá cifra sa v ňom nachádza najviac \(2\)-krát,
• súčin každých dvoch cifier je nepárny,
• súčet všetkých cifier je nepárny,
• dve rovnaké cifry sa nenachádzajú vedľa seba.

Na odomknutie dverí nájdite a zadajte najväčšie číslo, pre ktoré platí, že:

• Každá cifra sa v ňom nachádza najviac \(2\)-krát,
• súčin každých dvoch cifier je nepárny,
• súčet všetkých cifier je nepárny,
• dve rovnaké cifry sa nenachádzajú vedľa seba.

Miestnosť mala tvar pravidelného šesťuholníka \(ABCDEF\) a v nej sa nachádzal koberec tvaru štvoruholníka \(ADEF\). Určte veľkosť uhla \(AXF\), ak je bod \(X\) priesečník uhlopriečok v štvoruholníkovom koberci \(ADEF\).

Miestnosť mala tvar pravidelného šesťuholníka \(ABCDEF\) a v nej sa nachádzal koberec tvaru štvoruholníka \(ADEF\). Určte veľkosť uhla \(AXF\), ak je bod \(X\) priesečník uhlopriečok v štvoruholníkovom koberci \(ADEF\).

Tabuľka je rozdelená na rôzne veľké políčka, ktorých strany majú celočíselné dĺžky. Čísla uvedené v políčkách predstavujú ich obsah. Určte obsah prázdnych políčok.

Tabuľka je rozdelená na rôzne veľké políčka, ktorých strany majú celočíselné dĺžky. Čísla uvedené v políčkách predstavujú ich obsah. Určte obsah prázdnych políčok.

\(7\) ingrediencii -- Aprénium, Buďnocium, Cemspacium, Denebudium, Energium, Fujdenium a Goodnightium -- idú do kotla v nejakom poradí. Platí, že:

• Buďnocium aj Cemspacium idú po Denebudiu
• počet ingrediencii medzi Goodnightiom a Cemspaciom je o jedno menší ako dvojnásobok počtu medzi Fujdeniom a Buďnociom
• počet ingrendiencii vhodených pred Apréniom by sa vedel medzi sebou zoradiť šiestimi rôznymi spôsobmi
• počet ingrendiencii, ktorý ide do kotla pred Energiom, je polovičný v porovnaní s počtom tých, ktoré idú po ňom

\(7\) ingrediencii -- Aprénium, Buďnocium, Cemspacium, Denebudium, Energium, Fujdenium a Goodnightium -- idú do kotla v nejakom poradí. Platí, že:

• Buďnocium aj Cemspacium idú po Denebudiu
• počet ingrediencii medzi Goodnightiom a Cemspaciom je o jedno menší ako dvojnásobok počtu medzi Fujdeniom a Buďnociom
• počet ingrendiencii vhodených pred Apréniom by sa vedel medzi sebou zoradiť šiestimi rôznymi spôsobmi
• počet ingrendiencii, ktorý ide do kotla pred Energiom, je polovičný v porovnaní s počtom tých, ktoré idú po ňom

Tímy Ahojnia, Budespacko, Caronocko a Dobruria hrali každý s každým práve raz v futbalovom turnaji. V tabuľke nižšie vidíme súhrnné informácie o výsledkoch zápasov. Práve jedno číslo v stĺpci strelené góly je však chybné. Zistite, aké bolo skóre jednotlivých zápasov a vysvetlite, prečo to inak nemohlo byť.

Tímy Ahojnia, Budespacko, Caronocko a Dobruria hrali každý s každým práve raz v futbalovom turnaji. V tabuľke nižšie vidíme súhrnné informácie o výsledkoch zápasov. Práve jedno číslo v stĺpci strelené góly je však chybné. Zistite, aké bolo skóre jednotlivých zápasov a vysvetlite, prečo to inak nemohlo byť.

Na stole sú poháre s množstvom elixíru \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) a \(6\). Štyri si v každom kroku vyberie ľubovoľné dva poháre na tabuli, vyleje ich a namiesto toho do nového pohára naleje množstvo elixíru rovné rozdielu predchádzajúcich množstiev. Tento proces opakuje, až dokým na stole nezostane už len jeden pohár.

1. Určte, či môže byť na stole len prázdny pohár (množstvo elixíru je \(0\)).
Ak áno, ukážte ako. Ak nie, vysvetlite prečo.
2. Určte, aké najväčšie množstvo elixíru môže ostať v poslednom pohári, uveďte aj postup prelievania a prečo nemôže byť väčšie.

Na stole sú poháre s množstvom elixíru \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\) a \(6\). Štyri si v každom kroku vyberie ľubovoľné dva poháre na tabuli, vyleje ich a namiesto toho do nového pohára naleje množstvo elixíru rovné rozdielu predchádzajúcich množstiev. Tento proces opakuje, až dokým na stole nezostane už len jeden pohár.

1. Určte, či môže byť na stole len prázdny pohár (množstvo elixíru je \(0\)).
Ak áno, ukážte ako. Ak nie, vysvetlite prečo.
2. Určte, aké najväčšie množstvo elixíru môže ostať v poslednom pohári, uveďte aj postup prelievania a prečo nemôže byť väčšie.