Zadania seminára Malynar, 25. ročník - Letný semester


1. Šéf rozdeľoval svojim piatim pracovníkom 15 zrniek. Najviac koľkými spôsobmi to vedel urobiť, ak chcel, aby každý pracovník dostal viac zrniek, ako dostal ktorýkoľvek mladší od neho? Žiadni dvaja nie sú rovnako starí.
2. Na štadióne sa hral futbal. Počas zápasu strelil Jožo na bránku 8 krát, Jano 5 krát a Jeremiáš 3 krát. Brankár Jonáš, hrajúci za tím Mravci, chytil 4 zo striel, brankár Jónapot, hrajúci za tím Mravce, chytil 6. Nikto nestrieľal na bránku svojho tímu a každá nechytená strela skončila gólom. Aké mohlo byť konečné skóre zápasu? Nájdite všetky možnosti. (Okrem Joža, Jana a Jeremiáša nikto iný na bránku nestrieľal a počas celého zápasu ostali všetci hráči verní svojim tímom.)
3. Ideálny mravec je podľa Kráľovny vysoký, čierny a pekný. Pozná štyroch mravcov, ktorí sa volajú Andrej, Boris, Cyril a Daniel. Len jeden z nich má všetky vlastnosti, ktoré Kráľovná požaduje. Okrem toho platí:
  • z týchto štyroch mravcov sú len traja vysokí, len dvaja čierny a len jeden je pekný
  • každý z týchto štyroch mravcov má aspoň jednu z požadovaných vlastností
  • Andrej a Boris majú rovnakú farbu
  • Boris a Cyril sú rovnako vysokí
  • Z dvojice Cyril a Daniel je vysoký práve jeden
Ktorý z týchto štyroch mravcov spĺňa všetky Kráľovnine požiadavky?
4. Lukáš zbieral drevo na oheň. Našiel 9 paličiek, mali dĺžky 2, 2, 2, 4, 5, 6, 10, 11 a 12 metrov. Nemal zápalky a tak začal z paličiek skladať do troch trojuholníkov. Chcel vedieť, aký najväčší súčin obvodov týchto trojuholníkov vie dostať. Viete mu pomôcť, ak viete, že:
  • trojuholník je zložený z troch paličiek
  • obvod trojuholníka je súčet dĺžok paličiek, z ktorých je trojuholník vytvorený
  • trojuholník sa dá vytvoriť len z takej trojice paličiek, kde súčet dĺžok ľubovoľných dvoch je väčší ako tretej
5. Na Géniovom budíku je 5 gombíkov. Každý z nich vie byť v jednej z dvoch polôh - vypnutej alebo zapnutej. Na začiatku sú všetky gombíky vypnuté. Aby budík zazvonil, musia byť všetky zapnuté. Ak je budík aktivovaný, tak sa každú hodinu zmenia polohy štyroch z gombíkov. Koľko najmenej hodín prejde medzi aktiváciou a zvonením budíka, ak počas aktivácie boli všetky gombíky vo vypnutej polohe?
6. Na tabuli sú napísané čísla 3, 15 a 45. Na tabuľu vieme pripísať súčet, rozdiel alebo súčin, ľubovoľných dvoch z čísel, ktoré tam sú v danom momente napísané.

a) Vieme dostať na tabuli číslo 216? A 214?
b) Nájdite všetky také čísla, ktoré sa na tabuli nemôžu vyskytnúť, ak by sme mali na začiatku napísané čísla 3, 6 a 7.

(pomocná úloha: Predstavte si, čo by sa dialo, ak by na tabuli boli na začiatku iba čísla 2 a 4.)

1. V škôlke sa hrali všetky deti v pieskovisku. Hrad stavalo o 8 detí viac ako diaľnicu a o 4 deti menej ako továreň. Koľko detí mohlo byť v škôlke, ak bol ich počet násobkom čísla 5 a bolo ich tam menej ako 41? Nájdite všetky možnosti.
2. Vo vani je voda s teplotou 32 stupňov. K dispozícii sú vedrá so studenou a teplou vodou, vedro so studenou vodou zníži aktuálnu teplotu vody vo vani o jej polovicu a vedro s teplou jej aktuálnu teplotu zvýši o dva stupne. Koľko najmenej vedier potrebujeme na to, aby voda vo vani mala 3 stupne? (aktuálnou teplotou vody rozumieme teplotu po akomkoľvek počte priliatých vedier)
3. Traja súrodenci Janka, Miška a Tomáško zjedli potajomky mamičke 5 tabuliek čokolády, ktoré prichystala na výlet. Mamka začala vyšetrovanie. Lienky sa zborovo ohradili:
Janka: „Ja som sa nijakej čokolády nedotkla!“
Miška: „Ja som sa nijakej čokolády nedotkla!“
Tomáško: „Ja som sa nijakej čokolády nedotkol!“

Nuž takto sa nikde nedostaneme. Pri ďalšom vypočúvaní sa zistilo:
Janka: „Miška si vzala viac ako Tomáško!“
Miška (ku Janke): „Klameš!“
Tomáško: „Janka a Miška si vzali všetko!“
Janka (ku Tomáškovi): „Klameš!“

Pri konečnom vysvetlení situácie sa ukázalo, že každá lienka klamala toľkokrát, koľko tabuliek čokolády zjedla. Koľko tabuliek čokolády zjedla každá z lienok?
4. Starý chrúst a Fušo mali pred sebou 30 kamienkov. Rozhodli sa hrať hru, ktorú vyhrá ten, kto si zoberie posledný kamienok. Hráči sa striedajú v ťahoch, pričom v každom ťahu vezme daný hráč aspoň 1, no najviac 10 kamienkov. Starý chrúst išiel prvý a zobral si hneď 8 kamienkov. Dokážete Fušovi poradiť taký postup, aby vyhral, nech už starý chrúst postupuje akokoľvek?
5. Kobylky Anna, Beáta, Cecília, Denisa a Erika hlasujú, kto získa poklad. Hlasovanie prebieha nasledovne: každá z kobyliek môže v každom kole hlasovať, aby poklad nedostala niektorá z nich. Hlasy sa spočítajú a všetky kobylky s najväčším udeleným počtom hlasov nepostupujú do ďalšieho kola hlasovania. Vypadnuté kobylky už hlasovať nemôžu, zdržiavať sa hlasovania je zakázané. Hlasovanie sa končí, ak ostala už len jedna kobylka (tá získava poklad), alebo ak už vypadli všetky kobylky.
a) Koľko najmenej kôl vie prejsť tak, aby poklad získala Anna?
b) Koľko hlasovaní je takých, že po dvoch kolách poklad nezíska nikto?
(hlasovania sú rovnaké, ak v oboch dostala každá kobylka rovnaký počet hlasov a je jedno od koho)
6. Florova torta s rozmermi $4 \times 4$ je celá pokrytá obdĺžnikmi čokolády s rozmerom $1 \times 2$ (nejakým spôsobom). Rozhodnite, či je vždy možné rozrezať tortu na dve časti tak, aby sme neporušili ani jeden kúsok čokolády. Ako by to bolo ak by to bolo v prípade torty $6 \times 7$?

Aktuality

Prvá séria ukončená!
Koniec prvej série je už tu a spolu s ním aj vaše opravené úlohy a nové časopisy so vzorovými riešeniami a poradiami. Tak sa pustite do čítania, no nezabúdajte ani na druhú sériu! :)
(15. apríl 2019)

Chybička v zadaní..
sa našla v úlohe 3 v 2. sérii Malynára. Je už opravená, aj v časopise, aj v sekcii Príklady. Veľmi sa ospravedlňujeme :)
(30. marec 2019)

Pozrite sa..
..ako sme sa mali na sústredeniach Malynáru, Matika aj STROMu. Fotky sú už v galériách :)
(05. marec 2019)

Koniec zimného semestra
Zimný semester nám už skončil a tých najlepších z vás čaká sústredenie. Ak sa vám podarilo medzi nich prebojovať, nezabudnite vyplniť prihlášku.
(18. december 2018)

Presun termínu
Drahí riešitelia, termín druhej série zimného semestra sa presunul až na 26. novembra 2018, do 20:00, dúfame, že túto zmenu radi privítate! :)
(11. november 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.