Zadania seminára Malynar, 29. ročník - Zimný semester


1. Na zámku bola tabuľka $5\times 5$. Časť tabuľky bola už vopred vyplnená (obr. $2$). Tárajko musí doplniť tabuľku tak, aby v každom bielom políčku bol súčin príslušných čísel z dvoch sivých záhlaví v riadku a stĺpci (ako na obr. $1$). V sivých políčkach môžu byť iba prirodzené čísla. Pomôžte Tárajkovi nájsť všetky možné riešenia a zdôvodnite, že to inak nejde.

malynar29-1-1-1
2. Tárajko vedel, že sitko je drahé, a teda jeho cena je dvojciferné číslo. Opýtal sa na ňu štyroch predavačov a tí mu povedali toto:
  • Adam: ,,Jedna z cifier je dvakrát väčšia ako druhá.‘‘
  • Branči: ,,Cena je deliteľná šiestimi.‘‘
  • Cyril: ,,Keby sme k cene prirátali $3$, bola by deliteľná piatimi.‘‘
  • Drahoslav: ,,Cena je menšia ako $20$.‘‘
Tárajko vie, že práve jeden z nich klame. Určte správnu cenu a dokážte, že je jediná správna.
3. Starček priniesol tabuľku s napísanými číslami $1$, $2$, $3$, $\dotsc$, $100$. V každom kole zmazal dve z čísel a napísal namiesto nich ich súčet. Po čase v tabuľke ostalo päť po sebe idúcich čísel. Ktoré to boli? Svoje riešenie zdôvodnite.
4. Predavač mal štyri čajové vrecúška s viacerými druhmi čajov. V najľahšom je mätový čaj, v najťažšom je harmančekový čaj a zvyšné dve vrecúška majú rovnakú hmotnosť. Má aj rovnoramenné váhy, na ktorých vie vážiť vrecúška. Vrecúška sa vážia tak, že na každé rameno sa dá práve jedno vrecúško a porovná sa ich váha. Na koľko najmenej vážení vie s určitosťou zistiť, kde je mätový a kde je harmančekový čaj, ak pri každom vážení musí byť na každom ramene váhy práve jedno čajové vrecúško? Zdôvodnite, prečo to na menej vážení nejde, a napíšte, ako ste postupovali.
5. Pred zámkom boli tri jazierka. Do prvého sa zmestí $96$ žubrienok, do druhého $104$ a do tretieho $144$. Každú noc sa v jazierku rozdelí každá žubrienka na dve. Ak je žubrienok veľa a nemôžu sa rozdeliť všetky, nerozdelí sa ani jedna. Tárajko má k dispozícii práve tri žubrienky na každé jazierko. Každú žubrienku môže ráno nasadiť do jazierka v deň, ktorý si zvolí. Žubrienky Tárajko nemôže z jazierok nikdy vyberať. Ako ich má postupne nasádzať do jazierok tak, aby boli čo najskôr všetky tri jazierka úplne zaplnené? Ktorý deň v poradí sa to stane? Prečo to nejde za menej dní?
6. Na gobelíne sú nakreslené dve rovnako veľké pretínajúce sa kružnice a okolo nich obdĺžnik $FGHI$ tak, že kružnice obdĺžnik nepretínajú, no každá má s ním tri spoločné body (ako na obrázku). Boli tam tiež vyznačené niektoré zaujímavé body -- stredy kružníc ako body $A$ a $C$ a priesečníky úsečky $AC$ s kružnicami ako body $D$ a $E$. Aký je súčet obsahov trojuholníkov $FDI$ a $FGE$, ak polomer kružnice je $10$ $cm$ a obsah obdĺžnika je $760$ $cm$2? Úlohu neriešte rysovaním.

malynar29-1-1-6

1. Tárajka zaujal obrúsok. Mal tvar obdĺžnika $ABCD$. Ak ho preložíme na polovicu, dostaneme obrúsok v tvare obdĺžnika $ADFE$. Ak to isté spravíme s obdĺžnikom $ADFE$, získame obdĺžnik $ADHG$ (ako na obrázku). Obvod obdĺžnika $ADHG$ je $24$ $cm$ a obdĺžnika $ABCD$ $48$ $cm$. Aký je obsah obdĺžnika $ABCD$? Úlohu neriešte rysovaním.

malynar29-1-2-1
2. V jazierku plávalo $10$ žubrienok v kruhu. Na chrbtoch mali nejako rozmiestnené všetky čísla od $1$ do $10$. Žubrienky s číslami $1$, $3$, $5$, $7$ a $9$ sú na nepárnych pozíciách v kruhu a žubrienky s číslami $2$, $4$, $6$, $8$ a $10$ sú na párnych. Tárajko na nich poriadne nedočiahol, takže mohol urobiť iba nasledovné:
  • K číslu vybranej žubrienky pripočítať súčet jej susedov.
  • Od čísla vybranej žubrienky odčítať rozdiel čísel žubrienok vzdialených $2$.
Môže Tárajko dosiahnuť rovnosť súčtov čísel na chrbtoch žubrienok na nepárnych a párnych pozíciách? Svoju odpoveď zdôvodnite.
3. Cestou do krčmy rátal domy. Vyšlo mu päťciferné číslo. Toto číslo neobsahuje cifry $0$ ani $1$, ale určite obsahuje práve jednu cifru $6$. Je v ňom párny počet párnych číslic. Druhá až štvrtá číslica sú menšie ako $4$ a v čísle vieme dvakrát nájsť dve susediace číslice, ktoré sa rovnajú. Štvrtá cifra udáva, koľko je v čísle dvojok. Okolo koľkých domov prešiel Tárajko? Nájdite všetky možnosti a odôvodnite, že iné nie sú.
4. Štadión má tvar obdĺžnika $ABCD$ s dlhšou stranou $AB$. Uhlopriečky $AC$ a $BD$ zvierajú uhol $60^\circ $ (ten oproti kratšej strane štadióna). Futbalisti trénujú na veľkom okruhu $ACBDA$ alebo na malej dráhe $ADA$. Roland behal $10$-krát po veľkom okruhu a Benedikt $15$-krát po malej dráhe (to znamená, že po hrane $AD$ prebehol $30$-krát). Obaja dokopy ubehli $4,5$ km. Aká dlhá je uhlopriečka $AC$? Úlohu neriešte rysovaním! (Ak máte s úlohou problém, tak by vám mohlo pomôcť naše ,,Edukačné okienko‘‘ z minuloročného časopisu Malynár-28-4, ktorý nájdete na našej stránke.)
5. Sto šálkov si myslí celé číslo (všetci to isté). Každý buď stále klame, alebo stále hovorí pravdu. Najprv v nejakom poradí povedia vety: ,,Číslo je aspoň $1$.‘‘ ,,Číslo je aspoň $2$.‘‘ $\dotsc$ ,,Číslo je aspoň $100$.‘‘ Potom povedia v nejakom poradí vety: ,,Číslo je menšie ako $1$.‘‘ ,,Číslo je menšie ako $2$.‘‘ $\dotsc$ ,,Číslo je menšie ako $100$.‘‘ Koľko šálkov klame? Nájdite všetky riešenia a svoje riešenie odôvodnite.
6. Pole je veľké $7\times 7$ štvorčekov a na ňom niekde náhodne stojí armáda v podobe obdĺžnika s dĺžkami strán $3$ a $2$. Koľko najmenej striel musia šálkovia vystreliť z parného dela, aby si boli istí, že armádu zasiahli? Ukážte nejaký prípad rozmiestnenia striel a dokážte, že na menej to nejde.

Aktuality

Prvá séria ukončená!
Koniec prvej série je už tu a spolu s ním aj vaše opravené úlohy a nové časopisy so vzorovými riešeniami a poradiami. Tak sa pustite do čítania, no nezabúdajte ani na druhú sériu! :)
(15. apríl 2019)

Chybička v zadaní..
sa našla v úlohe 3 v 2. sérii Malynára. Je už opravená, aj v časopise, aj v sekcii Príklady. Veľmi sa ospravedlňujeme :)
(30. marec 2019)

Pozrite sa..
..ako sme sa mali na sústredeniach Malynáru, Matika aj STROMu. Fotky sú už v galériách :)
(05. marec 2019)

Koniec zimného semestra
Zimný semester nám už skončil a tých najlepších z vás čaká sústredenie. Ak sa vám podarilo medzi nich prebojovať, nezabudnite vyplniť prihlášku.
(18. december 2018)

Presun termínu
Drahí riešitelia, termín druhej série zimného semestra sa presunul až na 26. novembra 2018, do 20:00, dúfame, že túto zmenu radi privítate! :)
(11. november 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.