Zadania seminára Malynar, 31. ročník - Zimný smester


Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Lysander si pamätá, že jeho kód je štvorciferné číslo, pre ktoré platí, že súčet prvej a tretej cifry je rovnaký ako súčet druhej a štvrtej cifry, a zároveň súčet prvej a druhej cifry je rovnaký ako súčet tretej a štvrtej cifry. Číslo je deliteľné piatimi a má ciferný súčet $18$. Aké rôzne kódy mohol Lysander mať?
2. V meste, kde žije Lysander, sa ľudia delia na dve skupiny podľa kapiel, ktoré počúvajú: Mesačné ropuchy a Ružoví skokani. Fanúšikovia Mesačných ropúch vždy hovoria pravdu a fanúšikovia Ružových skokanov vždy klamú. Lysander si z rozhovoru pri vedľajšom stole vypočul tieto výroky:
  • Artemis: „Teo je fanúšik inej skupiny ako ja.“
  • Apollo: „Luna je fanúšik Ružových skokanov.“
  • Luna: „Apollo je fanúšik Ružových skokanov.“
  • Teo: „Medzi nami štyroma sú aspoň dvaja fanúšikovia Mesačných ropúch.“
Koľkí z nich sú fanúšikovia Ružových skokanov?
3. Na pláne výstavby je rovnoramenný trojuholník $ABC$ so základňou $AB$ a s uhlom $40$ stupňov pri vrchole $C$ a aj rovnoramenný trojuholník $ABD$ so základňou $BD$ tak, že $AC$ je os uhla $BAD$. Označme $X$ priesečník úsečiek $AC$ a $BD$. Určte veľkosť uhla $CXD$.
obrazok
Ak by ste sa chceli dozvedieť niečo o uhloch tak neváhajte a pozrite si edukačné okienko. Nájsť ho môžete v tomto časopise od strany 7.
4. Predavač si predstavil trojciferné číslo a jeho zákazníci sa ho pokúsili uhádnuť. Toto sú ich pokusy:
  1. zákazník: $218$,
  2. zákazník: $571$,
  3. zákazník: $732$,
  4. zákazník: $853$.
Predavač im povedal: „Jeden z vás trafil všetky cifry a ostatní iba jednu, ale žiadna z uhádnutých cifier nie je na správnej pozícii,“ na čo hovoria jeho zákazníci: „Na základe tejto informácie nemôžeme určiť, ktoré číslo si si predstavoval, pretože existuje niekoľko takýchto čísel.“ Určte súčet všetkých týchto možných čísel.
5. Dvaja hráči hrajú naháňačku na šachovnici $8\times 8$. Začínajú v protiľahlých rohoch a striedajú sa v ťahoch. Prvý hráč vyhrá, ak doženie druhého, teda ak stúpi na to isté políčko ako on. Ťahať môžu iba o jedno políčko v hociktorom zo štyroch smerov, ktoré s pôvodným políčkom susedia stranou. Prvý hráč začína. Doženie niekedy prvý hráč druhého? Ak áno, na koľko najmenej ťahov? Ak nie, prečo?
6. Vlak má $5$ vozňov a v každom z nich je niekoľko cestujúcich (všade aspoň $1$). Dvaja cestujúci sú susedia, ak sedia v rovnakom alebo vo vedľajších vozňoch. Každý cestujúci má buď práve $50$, alebo práve $100$ susedov. Koľko cestujúcich môže byť vo vlaku? Nájdite všetky možnosti.

Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Na mape boli vyznačené $4$ mestá na jednej priamke a vzdialenosť medzi každou dvojicou miest. Mapa ale bola stará, na jednej vzdialenosti bol fľak a číslo pod ním nebolo možné prečítať. Zvyšné vzdialenosti boli: $2$, $3$, $11$, $12$ a $14$. Tá, ktorú nebolo vidno kvôli fľaku, bola tretia najkratšia. Aká bola táto vzdialenosť?
2. Na obrázku je znázornená deka, ktorú plietol Apollo z dvoch častí, päťuholníka a šesťuholníka v bodoch mriežky štvorcovej siete. Určite obsah šesťuholníka, ak päťuholník má obsah $15$.
obrazok
3. V malej dedinke žije $5$ pravdovravcov a $1$ klamár. Môžeme si dvakrát vybrať ktorúkoľvek dvojicu a jednému z tejto dvojice položiť otázku, či je ten druhý klamár. Chceme s istotou určiť $4$ pravdovravcov. Akým spôsobom sa máme pýtať?
4. Z čísla $9876543210$ vyškrtni čo najmenší počet cifier tak, aby cifra na mieste desiatok bola trikrát menšia ako cifra na mieste tisícok a cifra na mieste jednotiek bola o tri menšia ako cifra na mieste stoviek. Nájdi všetky riešenia.
5. Každému zo svojich piatich spolubývajúcich chce Lysander darovať niekoľko palaciniek, každému aspoň jednu. Spolubývajúci vyslovili nasledujúce priania:
  • Alfred: Chcem dostať rovnako veľa palaciniek ako Boris.
  • Boris: Chcem dostať viac palaciniek ako Cyril.
  • Cyril: Nechcem dostať rovnako veľa palaciniek ako Daniel.
  • Daniel: Chcem dostať nepárny počet palaciniek.
  • Emil: Chcem mať iný počet palaciniek ako ktokoľvek iný.
Koľko najmenej palaciniek Lysander potrebuje, aby mohol splniť priania všetkých piatich kamarátov? Prečo mu menej palaciniek nemôže stačiť?
6. Artemis a Vincent majú na stole kôpku $100$ kamienkov a hrajú takúto hru: hráč vo svojom ťahu vezme vždy z kôpky nejaký počet kamienkov, ktorý je deliteľom aktuálneho počtu kamienkov v kôpke, nesmie však vziať všetky kamienky. V ťahoch sa striedajú a Artemis začína. Hráč, po ktorého ťahu zostane $1$ kamienok na kôpke, vyhráva. Určte, ktorý z hráčov má víťaznú stratégiu a ako vyzerá.

Aktuality

Elektronické odovzdávanie
Najbližšie série našich seminárov prosím odovzdávajte výlučne elektronicky na stránke! Pre viac info pozrite najnovší príspevok. Ďakujeme (:
(19. marec 2020)

Koniec zimného semestra
Zimný semester už pozná svojich najlepších riešiteľov, ktorých čaká sústredenie.. Tak šup pozrieť najnovší príspevok a s prihlasovaním neotáľať!
(16. december 2019)

Bude výlet...
...tak hlasujte v ankete o termíne výletu! Bližšie informácie už čoskoro.
(18. november 2019)

Prvá séria ukončená!
Koniec prvej série je už tu a spolu s ním aj vaše opravené úlohy a nové časopisy so vzorovými riešeniami a poradiami. Tak sa pustite do čítania, no nezabúdajte ani na druhú sériu! :)
(15. apríl 2019)

Chybička v zadaní..
sa našla v úlohe 3 v 2. sérii Malynára. Je už opravená, aj v časopise, aj v sekcii Príklady. Veľmi sa ospravedlňujeme :)
(30. marec 2019)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.