Zadania seminára Malynar, 33. ročník - Letný semester


Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Hubert našiel v lavici zabudnutú kocku, ktorá má na stenách ľubovoľne napísané čísla od \(1\) po \(6\), každé práve raz. Traja kamaráti sa zapozerali na kocku a všimli si, že každý ju vidí z inej strany a že každý vidí vrchnú stenu a dve susedné bočné steny. Zároveň platí, že každý z trojice vidí inú dvojicu bočných stien. Tiež si všimli, že ak sčítajú čísla, ktoré na stenách vidia, tak dostanú čísla \(9, 14\) a \(15\). Aké číslo môže byť na spodnej stene? Nájdite všetky možnosti a ukážte, že žiadne iné neexistujú.
2. Vo vílom údolí majú iba \(3\) typy mincí s hodnotami \(2, 5\) a tretiu hodnotu, ktorú Vanda práve zabudla. Vieme ale, že Hubert prvú zmrzlinu, ktorá stála \(13\), nevedel zaplatiť menej ako troma mincami, ale troma mincami ju zaplatiť už vedel. Takisto druhú zmrzlinu za \(19\) nevedel zaplatiť menej ako tromi mincami, no presne troma už áno. Aká je hodnota tretieho typu mincí? Nájdite všetky možnosti a ukážte, že žiadne iné neexistujú.
3. Hubert nalieval každé ráno hmlu do rozmanitých, rôzne veľkých nádob, ktoré si starostlivo zoradil na polici. Pri nalievaní postupoval postupne z jednej strany a žiadnu nádobu nepreskakoval. Do každej nádoby sa vojde aspoň liter hmly. Keby nalieval hmlu sedemdesiatlitrovou odmerkou, hmla z prvého nabratia by naplnila presne \(11\) nádob, hmla z druhého nabratia by naplnila presne ďalších \(12\) nádob a hmla z tretieho nabratia by naplnila presne ďalších \(7\) nádob. Ak by použil päťdesiatlitrovú odmerku, tak hmla z prvého nabratia by naplnila presne \(8\) nádob, z druhého nabratia presne ďalších \(10\) nádob, z tretieho presne ďalších \(7\) nádob a zo štvrtého presne ďalšie \(4\) nádoby. Rozhodnite, či je tridsiata nádoba v poradí väčšia ako dvadsiata piata a poriadne zdôvodnite, prečo to tak musí byť.
4. Mapa knižnice je štvorčeková sieť \(4 \times 4\), kde každý zo \(16\) štvorčekov je zafarbený práve jednou zo \(4\) farieb podľa toho, o akých vílach daná sekcia je: červená, modrá, zelená, žltá. Hubert vidí, že na mape je 9 rôznych \(2 \times 2\) štvorcov.
  1. Môže mapa vyzerať tak, že každý \(2 \times 2\) štvorec obsahuje práve jeden štvorček z každej farby? Ak áno, nakreslite ako, ak nie, vysvetlite prečo.
  2. Môže mapa vyzerať tak, že každý \(2 \times 2\) štvorec obsahuje práve jeden štvorček z každej farby a zároveň aspoň \(2\) rohové štvorčeky veľkého \(4 \times 4\) štvorca majú rovnakú farbu? Ak áno, nakreslite ako, ak nie, vysvetlite prečo.
5. Zvýraznená časť zadania sa zmenila 19.12.2023
Prišli do klubovne a Viktor Hubertovi vysvetlil, že každá víla celý čas buď klame alebo hovorí pravdu. Veterné víly sa vyjadrili takto:
  • Anemoi: Kód obsahuje cifru \(8\).
  • Boreas: Kód obsahuje cifru \(2\). Dogoda klame.
  • Caelus: Kód je číslo deliteľné \(3\). Kód je číslo menšie ako \(90\).
  • Dogoda: Kód je číslo deliteľné \(7\). Klamú aspoň dvaja z nás.
  • Eurus: Anemoi aj Caelus zároveň hovoria pravdu. Kód obsahuje cifru \(9\). Kód má aspoň \(3\) cifry.
Aký je teda kód, ak vieme, že ide o kladné celé číslo? Nájdite všetky možnosti a dokážte, že žiadne iné neexistujú.
6. Strážca ukáže na niečo pripomínajuce portál v tvare trojuholníka. Označme si ho \(ABC\). Vnútorný uhol trojuholníka \(ABC\) pri vrchole A je väčší ako \(60°\) a vnútorný uhol pri vrchole \(B\) je menší ako \(60°\). Ďalej je bod \(D\) taký, že trojuholník \(ABD\) je rovnostranný. Platí, že trojuholníky \(ACD\) a \(BCD\) sú rovnoramenné a to tak, že bod \(D\) je oproti ich základniam. Určte veľkosť uhla \(ACB\).
obrazok

Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Nakoniec si vyžobronili dokopy \(3\) informácie, z ktorých musia poskladať kód pre druhého strážcu. Zistili, že kód je štvorciferné číslo, ktoré musí spĺňať tieto podmienky:
  1. Súčet číslic na mieste tisícok a mieste stoviek je rovný číslu, ktoré vznikne, ak z hľadaného čísla odstránime obe prostredné číslice.
  2. Súčet z prvej podmienky je menší než dvojnásobok číslice na mieste desiatok.
  3. Práve jedna zo štyroch číslic hľadaného čísla je prvočíslo (prvočíslo je číslo, ktoré má práve dvoch rôznych deliteľov, a to \(1\) a seba samého).
Aké číslo mohlo byť hľadaný kód? Nájdite všetky možnosti.
2. Oblačník Cassius je štvorec \(ABCD\) so stranou dlhou \(6\) \(cm\). Body \(E\), \(F\) a \(G\) ležia postupne na stranách \(AB\), \(BC\) a \(CD\), pričom platí, že \(2 \cdot |EA| = |EB|\), \(2 \cdot |F B| = |F C|\) a \(2 \cdot |GC| = |GD|\). Cassius nadobudol tvar trojuholníka \(EFG\). Určte obsah tohto trojuholníka.
3. Stretli 31 dedinčanov a medzi nimi si všimli \(3\) skupiny - pravdovravci, klamári a premenliví. Pravdovravci vždy hovoria pravdu, klamári vždy klamú a premenliví si v prvej odpovedi vyberú, či hovoria pravdu alebo klamú a odvtedy to robia na striedačku. Chlapci sa najprv ale museli uistiť, kto je pravdovravec, klamár a premenlivý, takže sa ich všetkých spýtali \(3\) otázky v tomto poradí: Na otázku „Si pravdovravec?“ dostali \(22\) odpovedí áno. Na otázku „Si premenlivý?“ dostali \(15\) odpovedí áno a na otázku „Si klamár?“ dostali \(7\) odpovedí áno. Koľko je pravdovravcov, koľko klamárov a koľko premenlivých v Evalininej dedine?
4. Na stole je \(20\) drahokamov. Dvaja hráči hrajú hru a striedajú sa v ťahoch. Hráč vo svojom ťahu musí zobrať aspoň \(1\) a zároveň menej ako polovicu zo zostávajúcich drahokamov. Hráč, ktorý nemôže urobiť ťah podľa pravidiel, prehral. Pre ktorého z hráčov existuje výherná stratégia a aká? Výherná stratégia je postup, podľa ktorého, keď jeden hráč hrá, tak vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.
5. Máš \(5\) kladných celých čísel. Keď ich sčítaš po dvoch všetkými možnými spôsobmi, vytvoríš \(10\) čísel. Kráľovná mala nájsť také čísla, pre ktoré by tých \(10\) čísel bolo po sebe idúcich. Hubert to skúšal, no nešlo to. Dokáž, že týchto \(10\) čísel nemôže byť \(10\) po sebe idúcich čísel.
6. Drahokam v tvare obdĺžnika je rozdelený na osemuholník a šesťuholník ako na obrázku (pozor, obrázok je iba názorný, jednotlivé dĺžky nezodpovedajú skutočnosti). Strany osemuholníka majú veľkosti \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\) a \(8\) v nejakom poradí. Nájdite maximálny možný obsah šesťuholníka za týchto podmienok.
obrazok

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!