Zadania seminára Malynar, 28. ročník - Zimný semester


1. Čip je v tvare obdĺžnika a skladá sa zo sivých jednotkových štvorcov. Tento obdĺžnik je po obvode kompletne ohraničený vrstvou bielych jednotkových štvorcov. Štvorce sa dotýkajú vždy celou stranou a vrstva má šírku jedného štvorca. Obrázok ukazuje obdĺžnik, ktorý sa skladá z $12$ vnútorných a $18$ vonkajších.
  1. Nakreslite taký obdĺžnik, ktorý sa skladá zo $6$ vnútorných a $14$ vonkajších štvorcov.
  2. Rozhodnite, či existuje obdĺžnik, ktorý sa skladá zo $6$ vnútorných a $16$ vonkajších štvorcov.
  3. Máme obdĺžnik, ktorý je tvorený $20$ vonkajšími štvorcami. Zistite všetky možné počty vnútorných štvorcov, ktoré môžu tvoriť daný obdĺžnik.
  4. Dokážte, že existuje práve jeden obdĺžnik tvorený $42$ vnútornými štvorcami taký, že počet príslušných vonkajších štvorcov nie je násobkom $5$.

POZOR! Tlačiarenský škriatok zapríčinil, že úloha má vo vašich časopisoch nesprávne zadanie. Správne zadanie nájdete tu a v sekcii časopisy na našej stránke.

2. Dzivé číslo je také štvorciferné číslo, ktorého:
  • súčet prvých dvoch číslic je rovnaký ako súčet posledných dvoch číslic,
  • súčet krajných dvoch číslic je rovnaký ako vnútorných dvoch číslic.
Zistite, koľko je dzivých čísel, a nezabudnite odôvodniť, že sú to všetky. Štvorciferné číslo nemôže mať na mieste tisícov nulu.
3. Finále súťaže o najlepšieho robota sa zúčastnili Alex, Laura a Tom. Každý z $22$ porotcov pridelil finalistom $1$, $2$ alebo $3$ body – každému iný počet. $3$ body získal súťažiaci za prvé miesto, $2$ body za druhé miesto a $1$ bod za tretie miesto. Alex získal rovnako veľa prvých a tretích miest. Druhých miest mal o štyri viac než prvých. Laura a Tom získali rovnako veľa prvých miest, avšak druhých miest mala Laura dvakrát viac než Tom. Kto vyhral finále? Koľko získal bodov?
4. Máme tabuľku s výrezom v tvare obráteného Z (obrázok), ktorá má túto vlastnosť: keď zakrúžkujeme ľubovoľných päť čísel tak, že v každom stĺpci aj v každom riadku je zakrúžkované práve jedno, a sčítame ich, vždy dostaneme rovnaký súčet. Doplňte čísla na prázdne (biele) miesta. Nájdite všetky riešenia.

5. Niekoľko ostrovov je pospájaných mostami, pričom medzi dvomi ostrovmi vedie najviac jeden most. Navyše, z rôznych ostrovov vychádza rôzny počet mostov (ak z nejakého ostrova vychádza jeden most, z ostatných ostrovov musí vychádzať $0$ mostov alebo aspoň $2$ mosty). Dokážte, že bez ohľadu na to, ako sú ostrovy poprepájané, tak nie je možné splniť dané podmienky.
  1. Riešte pre prípad, že ostrovov je $7$.
  2. Riešte pre prípad, že ostrovov je viac ako $7$ – nájdite všeobecné riešenie pre všetky také počty.

POZOR! Tlačiarenský škriatok zapríčinil, že úloha má vo vašich časopisoch nesprávne zadanie. Správne zadanie nájdete tu a v sekcii časopisy na našej stránke.

6. Strecha má tvar štvorca $ABCD$. Heliport je v tvare sivého trojuholníka. Akú časť plochy strechy tvorí heliport? Úlohu riešte bez použitia rysovacích pomôcok a merania vzdialeností.


1. Štyri roboty sa nachádzajú na priamke a predstavujú body $P$, $Q$, $R$ a $S$ v nejakom poradí. Vieme, že dĺžky úsečiek $|PQ|$, $|QR|$, $|RS|$ a $|SP|$ sú jednotlivo $13$, $11$, $14$ a $12$. Aké je poradie bodov na priamke a aká je vzdialenosť medzi bodmi, ktoré sú od seba najvzdialenejšie?
2. Les má podobu štvorcovej tabuľky o rozmeroch $n\times n$, ktorá je vyplnená všetkými číslami od 1 po $n\cdot n$ tak, že čísla v každom riadku, každom stĺpci a aj na oboch hlavných uhlopriečkach majú rôzne súčty. Aká najmenšia tabuľka sa dá zostrojiť? Prečo sa menšia už zostrojiť nedá? (Ak ste sa s tým ešte nestretli, tak $n$ označuje nejaké neznáme číslo. Ak by bolo napr. $n=4$, tak ide o tabuľku so $4$ riadkami a $4$ stĺpcami, kde nájdeme čísla od $1$ do $4\cdot4$, teda do $16$.)
3. V obávanom bludisku sa nachádza portál pod jedným z polí $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gama), $\delta$ (delta), $\omega$ (omega). Každé pole sa nachádza na inom mieste (viď obrázok). Len pod jedným poľom sa nachádza portál a môžeme sa dostať len pod jedno zvolené pole. V okolí obávaného bludiska sa pohybovalo $5$ strážcov, každý o portáli tvrdil niečo iné. Postupne títo piati ľudia povedali:
  1. Na najkratšej ceste za portálom sa musíš aspoň štyrikrát otočiť doprava.
  2. Portál sa nachádza v riadku označenom písmenom zapisujúcim spoluhlásku.
  3. Na najkratšej ceste za portálom musíš prejsť aspoň cez $15$ políčok.
  4. Portál sa nachádza na políčku, ktoré je v stĺpci označenom párnym číslom.
  5. Na najkratšej ceste za portálom sa musíš aspoň štyrikrát otočiť doľava.
Niektorí z nich však nehovorili pravdu. Ak by sme však vedeli, koľko z nich klamalo, dokázali by sme jednoznačne určiť, pod ktorým poľom sa portál nachádza. Pod ktorým? Do bludiska vchádzame otočení tým smerom, ktorým sme prišli. Na každom políčku sa vieme otočiť najviac jedenkrát, pričom otáčaním doprava resp. doľava myslíme otočenie o práve jednu štvrtinu kružnice.
4. Hráč $A$ a Hráč $B$ majú na papieri napísaných $100$ jednotiek oddelených medzerami. Hráč $A$ začína a s Hráčom $B$ sa ťah po ťahu striedajú. Každý hráč musí v každom ťahu umiestniť medzi nejaké dve susedné jednotky znamienko plus alebo znamienko krát. Po vyplnení všetkých medzier ostane na papieri príklad, ktorého výsledok je buď párny, alebo nepárny. Ak je párny, vyhráva Hráč $A$, ak je nepárny, vyhráva Hráč $B$. Jeden z hráčov dokáže hrať tak, aby vždy vyhral, a to bez ohľadu na súperove ťahy. Ktorý z hráčov to je a prečo?
5. Okolo okrúhleho stola je v pravidelných rozostupoch rozostavených pätnásť stoličiek. Na stole sú kartičky s menami pätnástich hostí. Hostia si všimli kartičky, keď si už sadli. A tak sa stalo, že nikto nesedel pred svojou vlastnou kartičkou. Dokážte, že je možné otočiť stôl tak, aby aspoň dvaja hostia sedeli na správnych miestach.
6. Koľko rôznych sedempísmenových „slov“ vieme vytvoriť z písmen $A$, $B$, $C$, $D$? „Slovo“ je ľubovoľný zhluk abecedne zoradených písmen a „slová“ sú rovnaké len vtedy, ak sa zhodujú písmená na všetkých ich pozíciách.

Aktuality

Chyby v zadaní
V prvej a piatej úlohe prvej série sa objavila chyba v zadaní. Správne znenie úlohy nájdete na našej stránke.
(15. september 2018)

Zimná séria je tu!
Leto už skončilo a my sme si pre vás preto pripravili novučičký časopis so super príkladmi.
(11. september 2018)

Letné sústredenie Malynáru 2018
Termín prihlasovania pre najúspešnejších 32 riešiteľov na letné sústredenie Malynára, ktoré sa bude konať od 17. júna do 22. júna, sa neúprosne blíži, neotáľajte a prihláste sa, čas je do 1. júna! Tu je pozvánka, ak by sa tá vaša ku vám nestihla dostať alebo ste ju niekte zapotrošili :) ...
(29. máj 2018)

Mamut 2018
25.05.2018 sa v Kasárňach/Kulturparku na Kukučínovej 2 v Košiciach uskutočnil už osemnásty ročník MAMUTa. Zadania a výsledkovú listinu nájdete v sekcii MAMUT.
(25. máj 2018)

Toto je koniec!
Nezúfajte, končí sa iba jeden zo semestrov nášho i vášho seminára. Nezabudnite sa mrknúť na poradie, prečítať časopis a pozorne si prezrieť svoje opravené riešenia!
(23. máj 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.