Na štvorcovom poli (na obrázku) sú umiestnené nepriateľské lode (reprezentované jednotkovým štvorcom), ktoré musí loď Tytaňik zneškodniť: Archéra, Barbette, Celifio a Drassel. Pole je orientované tak, že strana s číslami je sever a s písmenami západ. Určite, na akých pozíciách sa nachádzajú lode Archéra, Barbette, Celifio a Drassel, ak viete, že dôstojník Tripollo o nich z mostíku zistil týchto päť informácií:

1. Loď Archéra sa nachádza niekde v riadku $B$.
2. Loď Barbette je $7$ políčok východne a $5$ políčok južne od lode Archéra (ak sa loď nachádza napr. $5$ políčok východne od inej, znamená to, že medzi políčkami, kde stoja tieto lode, sú $4$ ďalšie políčka).
3. Loď Celifio je $5$ políčok východne a $7$ políčok severne od lode Drassel.
4. Loď Drassel sa nachádza niekde v stĺpci $3$.
5. Pre každý stĺpec aj riadok platí, že v ňom je najviac jedna loď.

Na štvorcovom poli (na obrázku) sú umiestnené nepriateľské lode (reprezentované jednotkovým štvorcom), ktoré musí loď Tytaňik zneškodniť: Archéra, Barbette, Celifio a Drassel. Pole je orientované tak, že strana s číslami je sever a s písmenami západ. Určite, na akých pozíciách sa nachádzajú lode Archéra, Barbette, Celifio a Drassel, ak viete, že dôstojník Tripollo o nich z mostíku zistil týchto päť informácií:

1. Loď Archéra sa nachádza niekde v riadku $B$.
2. Loď Barbette je $7$ políčok východne a $5$ políčok južne od lode Archéra (ak sa loď nachádza napr. $5$ políčok východne od inej, znamená to, že medzi políčkami, kde stoja tieto lode, sú $4$ ďalšie políčka).
3. Loď Celifio je $5$ políčok východne a $7$ políčok severne od lode Drassel.
4. Loď Drassel sa nachádza niekde v stĺpci $3$.
5. Pre každý stĺpec aj riadok platí, že v ňom je najviac jedna loď.

Každý pirát na palube má rovnaký počet dukátov. Keď prišli do obchodu s nábojmi, kde bola vyvesená takáto tabuľka, prišli na to, že každý z mužov by si vedel kúpiť hrdzavý náboj, ale medený už nie. Ak by si svoje úspory spojili dvaja, tak by si spolu vedeli kúpiť medený náboj, ale oceľový už nie. Ak by si svoje úspory spojili traja, tak by si vedeli kúpiť dokonca ohnivú strelu, ale drviča lodí už nie. Koľko mužov tvorí posádku lode, ak bolo v lupe aspoň $390$, ale menej ako $400$ dukátov? Koľko dukátov dostal každý z mužov?

Každý pirát na palube má rovnaký počet dukátov. Keď prišli do obchodu s nábojmi, kde bola vyvesená takáto tabuľka, prišli na to, že každý z mužov by si vedel kúpiť hrdzavý náboj, ale medený už nie. Ak by si svoje úspory spojili dvaja, tak by si spolu vedeli kúpiť medený náboj, ale oceľový už nie. Ak by si svoje úspory spojili traja, tak by si vedeli kúpiť dokonca ohnivú strelu, ale drviča lodí už nie. Koľko mužov tvorí posádku lode, ak bolo v lupe aspoň $390$, ale menej ako $400$ dukátov? Koľko dukátov dostal každý z mužov?

Kapitán Andrej má mapu obdĺžnikového tvaru. Členovia posádky o nej povedali:

• Andrej: „Nebudem klamať, obsah mojej mapy je $9$.“
• Tripollo: „Obsah mapy je $6$.“
• Servác: „Jedna strana mapy má párny rozmer. Druhá strana má nepárny, no iný ako $1$.“
• Versar: „Obsah mapy je párne číslo.“
• Arnold: „Kapitánova mapa má taký obsah, že nutne musí mať jednu stranu dlhú $1$, inak to nejde.“

Kapitán Andrej má mapu obdĺžnikového tvaru. Členovia posádky o nej povedali:

• Andrej: „Nebudem klamať, obsah mojej mapy je $9$.“
• Tripollo: „Obsah mapy je $6$.“
• Servác: „Jedna strana mapy má párny rozmer. Druhá strana má nepárny, no iný ako $1$.“
• Versar: „Obsah mapy je párne číslo.“
• Arnold: „Kapitánova mapa má taký obsah, že nutne musí mať jednu stranu dlhú $1$, inak to nejde.“

Aký rozmer má najmenšia štvorcová šachovnica, na ktorú vie kapitán Andrej rozmiestniť $25$ pešiakov tak, aby všetci mali rovnakú vzdialenosť od veže, ktorá stojí v strede šachovnice? Vzdialenosťou sa myslí najnižší počet ťahov vežou na pozíciu pešiaka. Bonie však pridal pravidlo: Keď ťaháme vežou, môžeme ju v jednom ťahu posunúť len o jedno políčko.

Aký rozmer má najmenšia štvorcová šachovnica, na ktorú vie kapitán Andrej rozmiestniť $25$ pešiakov tak, aby všetci mali rovnakú vzdialenosť od veže, ktorá stojí v strede šachovnice? Vzdialenosťou sa myslí najnižší počet ťahov vežou na pozíciu pešiaka. Bonie však pridal pravidlo: Keď ťaháme vežou, môžeme ju v jednom ťahu posunúť len o jedno políčko.

Hlavná plachta má zvláštny tvar. Kapitán si o nej pamätal, že sa skladá z trojuholníka $ABC$, v ktorom máme strednú priečku $DE$ (bod $D$ leží na $AC$ a bod $E$ na $BC$). Bod $G$ leží na polpriamke $CB$ tak, že $B$ je v polovici $EG$. Ďalej si spomenul, že písmenom $F$ sa označuje priesečník $DG$ s $AB$ a písmenom $I$ sa označuje priesečník $CF$ a $DE$. Aká je dĺžka úsečky $IE$? Kapitán si ešte zapamätal to, že obvod trojuholníka $CDE$ je $12$ a obvod štvoruholníka $ABED$ je $20$.
Pomôcka: Čo je to stredná priečka trojuholníka? Je to úsečka s krajnými bodmi v stredoch dvoch jeho strán a zároveň je rovnobežná s treťou jeho stranou. Pre jej dĺžku platí, že je polovicou z dĺžky strany, s ktorou je rovnobežná.

Hlavná plachta má zvláštny tvar. Kapitán si o nej pamätal, že sa skladá z trojuholníka $ABC$, v ktorom máme strednú priečku $DE$ (bod $D$ leží na $AC$ a bod $E$ na $BC$). Bod $G$ leží na polpriamke $CB$ tak, že $B$ je v polovici $EG$. Ďalej si spomenul, že písmenom $F$ sa označuje priesečník $DG$ s $AB$ a písmenom $I$ sa označuje priesečník $CF$ a $DE$. Aká je dĺžka úsečky $IE$? Kapitán si ešte zapamätal to, že obvod trojuholníka $CDE$ je $12$ a obvod štvoruholníka $ABED$ je $20$.
Pomôcka: Čo je to stredná priečka trojuholníka? Je to úsečka s krajnými bodmi v stredoch dvoch jeho strán a zároveň je rovnobežná s treťou jeho stranou. Pre jej dĺžku platí, že je polovicou z dĺžky strany, s ktorou je rovnobežná.

Tri tímy rôznych lodí (loď Tytaňik, loď Ushippi, loď Greahi) hrali medzi sebou zápasy Pirabalu každý s každým najviac raz. V priebehu skupinových zápasov si posádka kapitána Andreja všimla zvláštnu vec, tabuľka zápasov je určite nesprávna. Momentálne vyzerá takto:

Tri tímy rôznych lodí (loď Tytaňik, loď Ushippi, loď Greahi) hrali medzi sebou zápasy Pirabalu každý s každým najviac raz. V priebehu skupinových zápasov si posádka kapitána Andreja všimla zvláštnu vec, tabuľka zápasov je určite nesprávna. Momentálne vyzerá takto:

Bonie má tri nádoby s objemami postupne $2$ l, $7$ l a $10$ l. Najväčšia nádoba je plná vody. Jeho úlohou je rozhodnúť, ktoré z objemov $1$ l, $2$ l, $\dotsc$, $8$ l, $9$ l dokáže prelievaním získať práve v jednej z nádob. Vodu nemôže rozlievať mimo nádob. Nádoby nemajú žiadne rysky ani dieliky – prelievať vie len objemy, ktoré je schopný určiť rozdielmi medzi nádobami. Ktoré z objemov $1$ l, $2$ l, $\dotsc$, $8$ l, $9$ l dokáže Bonie získať?

Bonie má tri nádoby s objemami postupne $2$ l, $7$ l a $10$ l. Najväčšia nádoba je plná vody. Jeho úlohou je rozhodnúť, ktoré z objemov $1$ l, $2$ l, $\dotsc$, $8$ l, $9$ l dokáže prelievaním získať práve v jednej z nádob. Vodu nemôže rozlievať mimo nádob. Nádoby nemajú žiadne rysky ani dieliky – prelievať vie len objemy, ktoré je schopný určiť rozdielmi medzi nádobami. Ktoré z objemov $1$ l, $2$ l, $\dotsc$, $8$ l, $9$ l dokáže Bonie získať?

Na šachovnicu $3 \times 3$ ukladáme lode rôznych tímov. Na každé políčko chceme položiť loď nejakého tímu tak, aby v žiadnom riadku, stĺpci a ani na žiadnej z dvoch uhlopriečok neboli dve lode rovnakého tímu. Koľko najmenej tímov musí hrať túto hru, ak je každé z políčok obsadené? Prečo menej tímov hrať hru nemôže?

Na šachovnicu $3 \times 3$ ukladáme lode rôznych tímov. Na každé políčko chceme položiť loď nejakého tímu tak, aby v žiadnom riadku, stĺpci a ani na žiadnej z dvoch uhlopriečok neboli dve lode rovnakého tímu. Koľko najmenej tímov musí hrať túto hru, ak je každé z políčok obsadené? Prečo menej tímov hrať hru nemôže?

Hrací plán na „Človeče, nehnevaj sa“ je tvorený kružnicou s $36$ políčkami. Na plán rozmiestnime figúrky. Hodíme klasickou hracou kockou. Potom pohneme figúrkou podľa nášho výberu o toľko políčok (v ľubovoľnom z dvoch smerov), koľko nám padlo na kocke. Koľko najmenej figúrok potrebujeme, aby sme pri ľubovoľnom padnutom čísle vedeli nejakou figúrkou potiahnuť na políčko, kde už nejaká figúrka stojí, ak:

1. sú figúrky rozmiestnené tak, ako si my zvolíme?
2. sú figúrky položené tak, ako ich rozmiestnil Bonie (treba teda vziať do úvahy všetky možné polohy figúrok)?

Hrací plán na „Človeče, nehnevaj sa“ je tvorený kružnicou s $36$ políčkami. Na plán rozmiestnime figúrky. Hodíme klasickou hracou kockou. Potom pohneme figúrkou podľa nášho výberu o toľko políčok (v ľubovoľnom z dvoch smerov), koľko nám padlo na kocke. Koľko najmenej figúrok potrebujeme, aby sme pri ľubovoľnom padnutom čísle vedeli nejakou figúrkou potiahnuť na políčko, kde už nejaká figúrka stojí, ak:

1. sú figúrky rozmiestnené tak, ako si my zvolíme?
2. sú figúrky položené tak, ako ich rozmiestnil Bonie (treba teda vziať do úvahy všetky možné polohy figúrok)?

Koľko najviac strelcov vieme umiestniť na šachovnicu $8 \times 8$ tak, aby sa žiadni dvaja neohrozovali?

Koľko najviac strelcov vieme umiestniť na šachovnicu $8 \times 8$ tak, aby sa žiadni dvaja neohrozovali?

Lode Lorda Leonarda majú rôzne funkcie. Osem krúžkov na obrázku predstavuje osem lodí a úsečky medzi nimi komunikačné kanály. Komunikačným kanálom nemôžu byť prepojené dve lode rovnakej funkcie. Koľko najmenej funkcií môžu mať lode Lorda Leonarda?

Lode Lorda Leonarda majú rôzne funkcie. Osem krúžkov na obrázku predstavuje osem lodí a úsečky medzi nimi komunikačné kanály. Komunikačným kanálom nemôžu byť prepojené dve lode rovnakej funkcie. Koľko najmenej funkcií môžu mať lode Lorda Leonarda?

Na šesťuholníkovom plániku (obrázok naľavo) predstavuje každý jednotkový šesťuholník jeden sektor. Lord Leonard a kapitán Andrej sa striedajú v ťahoch, pričom každý vo svojom ťahu vyfarbí na plániku „trojuholník zo šesťuholníkov“ (čo myslíme týmto pojmom, môžete vidieť na obrázku napravo. Hráči môžu samozrejme kresliť aj väčšie útvary tohto typu, ale len také, ktoré sa kompletne vojdú na plánik). Hráč, ktorý vyfarbí posledný sivý šesťuholník, vyhrá. Lord Leonard hru začal a vyfarbil jeden šesťuholník podľa prvého obrázka (má inú farbu ako zvyšok plániku). Má niektorý z hráčov teraz možnosť hrať tak, aby zaručene (bez ohľadu na ťahy súpera) vyhral?

Inštrukcie:

• Preferovaný formát je jeden PDF súbor.
• Každopádne, podporované formáty sú: .doc, .jpg, .png, .gif, .tiff
• Tieto formáty budú skonvertované na PDF.
• Môžete odovzdať viacero súborov, budú zlúčené do jedného PDF súboru.
• Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB

Solution:

Na šesťuholníkovom plániku (obrázok naľavo) predstavuje každý jednotkový šesťuholník jeden sektor. Lord Leonard a kapitán Andrej sa striedajú v ťahoch, pričom každý vo svojom ťahu vyfarbí na plániku „trojuholník zo šesťuholníkov“ (čo myslíme týmto pojmom, môžete vidieť na obrázku napravo. Hráči môžu samozrejme kresliť aj väčšie útvary tohto typu, ale len také, ktoré sa kompletne vojdú na plánik). Hráč, ktorý vyfarbí posledný sivý šesťuholník, vyhrá. Lord Leonard hru začal a vyfarbil jeden šesťuholník podľa prvého obrázka (má inú farbu ako zvyšok plániku). Má niektorý z hráčov teraz možnosť hrať tak, aby zaručene (bez ohľadu na ťahy súpera) vyhral?