Zadania seminára Malynar, 28. ročník - Letný semester


1. Na zozname boli zapísaní (nie nutne v tomto poradí) Adam, Barča, Cyril, Dory, Ema a Fred. Každý z nich povedal jeden pravdivý výrok:
Adam: ,,Som zapísaný v prvej polovici zoznamu.‘‘
Barča: ,,Moje poradové číslo je o jeden menšie, ako má Dory.‘‘
Cyril: ,,Nie som posledný.‘‘
Dory: ,,Ema nie je v druhej polovici zoznamu.‘‘
Ema: ,,Mám párne poradové číslo.‘‘
Fred: ,,Moje poradové číslo na zozname je menšie, ako má Adam.‘‘
Zistite, v akom poradí boli súrodenci zapísaní na sprchovacom zozname, ak vieme, že na každom mieste môže byť zapísaný len jeden. Nájdite všetky možnosti a odôvodnite, že iné nie sú.
2. Na stole sú 3 nádobky, v jednej sú červené jablká, v druhej zelené a v tretej červené aj zelené. Nádobky sú označené nápismi ,,červené‘‘, ,,zelené‘‘ a ,,červené a zelené‘‘, avšak každá má na sebe zlý nápis. Môžete si určiť nádobku a so zavretými očami vytiahnuť jablko. Na koľko najmenej vytiahnutí jabĺk (so zavretými očami) a pozretí si ich farby vieme s istotou určiť, ako majú byť nádobky označené správne? Nezabudnite, že vopred neviete, aké jablko vytiahnete, preto rozoberte všetky možnosti.
3. Pole má tvar trojuholníka $ABC$. Uhol pri vrchole $C$ je $40^\circ$. Osi uhlov pri vrcholoch $A$ a $B$ sa pretnú v bode $D$. Aký veľký je uhol $ADB$? Úlohu riešte všeobecne a bez rysovania.
4. Na stole je položená klasická hracia kocka (súčet čísel na protiľahlých stenách je 7). Pri stole sedí 5 Fredových súrodencov, z ktorých všetci vidia práve 3 steny kocky. Fred im položil otázku: Aký je súčet čísel na stenách, ktoré vidíte? Dostal od nich takéto odpovede: Anita - 7, Blahoslav - 9, Ctibor - 10, Dobroslav - 14, Eugen - 15, avšak jeden z nich nevie počítať. Kto to je? Nezabudnite vysvetliť, prečo práve on.
5. V trojuholníku $ABC$ platí $|AC| = |BC|$. Na úsečke $BC$ je bod $F$ taký, že $|AB| = |AF| = |FC|$. Nájdite hodnoty vnútorných uhlov trojuholníka $ABC$. Úlohu riešte všeobecne a bez rysovania.
6. Tatko Zajko a Mamka Zajková spoločne organizujú večierok. Pozvali štyri ďalšie manželské páry (každý manželský pár sa samozrejme navzájom pozná). Tatko Zajko a Mamka Zajková nemusia nutne poznať každého pozvaného. Na večierku si podajú ruky tie dvojice ľudí, ktoré sa nepoznajú. Potom sa Tatko Zajko každého okrem seba opýtal, s koľkými ľuďmi si podali ruku. Každý mu povedal iné číslo. S koľkými ľuďmi si podala ruku Mamka Zajková?

1. V kruhu sedí niekoľko malých zajačikov. Prvý z nich povie: ,,Je nás tu 6‘‘ a vyskočí z kruhu preč. Postupne vyskakuje z kruhu ďalší a ďalší zajačik a vždy povie: ,,Všetci, čo vyskočili predo mnou, klamali.‘‘ Takto to pokračuje až kým v kruhu nebude sedieť ani jeden zajačik. Koľko zajačikov hovorilo pravdu? Nájdite všetky možnosti a svoje riešenie odôvodnite.
2. Na papieriku stálo, že štvormiestny PIN kód od dverí je zaujímavý:
  • všetky jeho číslice sú prvočísla,
  • 1. a 2. číslica v tomto poradí vytvorí prvočíslo
  • 2. a 3. číslica v tomto poradí vytvorí prvočíslo
  • 3. a 4. číslica v tomto poradí vytvorí prvočíslo
Na papieriku taktiež stálo, že všetky uvedené informácie sú pravdivé a po vložení správneho PINu sa dvere odomknú. Koľko existuje takých štvormiestnych čísel, ktoré by mohli byť správnym PINom od dverí? Nezabudnite odôvodniť, že ste na žiadne možnosti nezabudli.

Prvočíslo je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré je deliteľné len číslom 1 a samo sebou.
3. Obytný sektor má tvar štvorca $5 \times 5$ a každá miestnosť (štvorček $1 \times 1$) má priradené jednociferné číslo. V prípade núdze je potrebné vyfarbiť niektoré miestnosti tak, aby sa žiadna hodnota vyfarbenenej miestnosti nevyskytovala medzi nevyfarbenými hodnotami v žiadnom riadku ani stĺpci viac ako 1-krát. Ďalšou podmienkou je, že vyfarbené miestnosti sa nesmú dotýkať stranou a nevyfarbené musia tvoriť súvislú plochu (v nej musia byť všetky nevyfarbené miestnosti spojené stranou).
  1. Ukážte, že ak je v obytnom sektore $5 \times 5$ hneď vedľa seba (v jednom riadku alebo jednom stĺpci) umiestnená trojica rovnakých čísel, musia byť obe krajné miestnosti zafarbené a naopak stredná nesmie byť zafarbená. Svoje riešenie poriadne zdôvodnite.
  2. Ukážte, že v obytnom sektore $5 \times 5$ nesmie byť číslo, ktoré by sa nachádzalo medzi dvojicou rovnakých čísel v jednom riadku alebo stĺpci, a zároveň by bolo zafarbené. Svoje riešenie poriadne zdôvodnite.
  3. Vyfarbite štvorec na obrázku tak, aby vyhovoval podmienkam zadania. Spíšte aj postup v bodoch ako ste postupovali a prečo.
POZOR! Tlačiarenský škriatok zapríčinil, že úloha má vo vašich časopisoch nesprávne zadanie. Správne zadanie nájdete tu a v sekcii časopisy na našej stránke.

uloha2
4. Vybratých 5 zajacov sa zúčastnilo turnaja. Každý s každým odohral práve jeden zápas. Za výhru získava hráč $1$ bod, za remízu $0{,}5$ bodu a za prehru $0$ bodov. O turnaji vieme len to, že zajac s najvyšším počtom bodov nemal žiadnu remízu. Zajac, ktorý skončil ako druhý, žiaden zápas neprehral. A každý zo zajacov získal iný počet bodov. Koľko bodov získali jednotlivé zajace? Nájdite všetky možnosti a odôvodnite, že iné nie sú.
5. Fred a Henry hrajú hru, v ktorej si na začiatku Henry vymyslí dvojciferné prirodzené číslo. V každom ťahu potom Fred povie Henrymu nejaké prirodzené číslo $f$, ktoré je väčšie ako 1. Ak je Henryho číslo násobkom Fredovho čísla $f$, tak Fred vyhráva. V opačnom prípade Henry odčíta Fredove číslo $f$ od svojho aktuálneho čísla a hra pokračuje ďalším ťahom s novým číslom $f$. V momente, keď Henry dostane záporné číslo (číslo menšie ako 0), tak Fred prehrá. Ak je to možné, tak vymyslite ako má Fred hrať, aby vždy vyhral.
6. Máme $3 \times 7$ mín na mínovom poli rozmiestnených do tvaru štvorčekovej mriežky. Každá mína je ofarbená práve jednou z dvoch farieb. Ukážte, že nech sú míny ofarbené akokoľvek, tak v mriežke vždy existuje obdĺžnik so štyrmi mínami (vrcholmi) jednej farby. Rovnakej farby musia byť len vrcholy obdĺžnika.

Aktuality

Prvá séria ukončená!
Koniec prvej série je už tu a spolu s ním aj vaše opravené úlohy a nové časopisy so vzorovými riešeniami a poradiami. Tak sa pustite do čítania, no nezabúdajte ani na druhú sériu! :)
(15. apríl 2019)

Chybička v zadaní..
sa našla v úlohe 3 v 2. sérii Malynára. Je už opravená, aj v časopise, aj v sekcii Príklady. Veľmi sa ospravedlňujeme :)
(30. marec 2019)

Pozrite sa..
..ako sme sa mali na sústredeniach Malynáru, Matika aj STROMu. Fotky sú už v galériách :)
(05. marec 2019)

Koniec zimného semestra
Zimný semester nám už skončil a tých najlepších z vás čaká sústredenie. Ak sa vám podarilo medzi nich prebojovať, nezabudnite vyplniť prihlášku.
(18. december 2018)

Presun termínu
Drahí riešitelia, termín druhej série zimného semestra sa presunul až na 26. novembra 2018, do 20:00, dúfame, že túto zmenu radi privítate! :)
(11. november 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.