Na zozname boli zapísaní (nie nutne v tomto poradí) Adam, Barča, Cyril, Dory, Ema a Fred. Každý z nich povedal jeden pravdivý výrok:
Adam: ,,Som zapísaný v prvej polovici zoznamu.‘‘
Barča: ,,Moje poradové číslo je o jeden menšie, ako má Dory.‘‘
Cyril: ,,Nie som posledný.‘‘
Dory: ,,Ema nie je v druhej polovici zoznamu.‘‘
Ema: ,,Mám párne poradové číslo.‘‘
Fred: ,,Moje poradové číslo na zozname je menšie, ako má Adam.‘‘
Zistite, v akom poradí boli súrodenci zapísaní na sprchovacom zozname, ak vieme, že na každom mieste môže byť zapísaný len jeden. Nájdite všetky možnosti a odôvodnite, že iné nie sú.

Na stole sú 3 nádobky, v jednej sú červené jablká, v druhej zelené a v tretej červené aj zelené. Nádobky sú označené nápismi ,,červené‘‘, ,,zelené‘‘ a ,,červené a zelené‘‘, avšak každá má na sebe zlý nápis. Môžete si určiť nádobku a so zavretými očami vytiahnuť jablko. Na koľko najmenej vytiahnutí jabĺk (so zavretými očami) a pozretí si ich farby vieme s istotou určiť, ako majú byť nádobky označené správne? Nezabudnite, že vopred neviete, aké jablko vytiahnete, preto rozoberte všetky možnosti.

Pole má tvar trojuholníka $ABC$. Uhol pri vrchole $C$ je $40^\circ$. Osi uhlov pri vrcholoch $A$ a $B$ sa pretnú v bode $D$. Aký veľký je uhol $ADB$? Úlohu riešte všeobecne a bez rysovania.

Na stole je položená klasická hracia kocka (súčet čísel na protiľahlých stenách je 7). Pri stole sedí 5 Fredových súrodencov, z ktorých všetci vidia práve 3 steny kocky. Fred im položil otázku: Aký je súčet čísel na stenách, ktoré vidíte? Dostal od nich takéto odpovede: Anita - 7, Blahoslav - 9, Ctibor - 10, Dobroslav - 14, Eugen - 15, avšak jeden z nich nevie počítať. Kto to je? Nezabudnite vysvetliť, prečo práve on.

V trojuholníku $ABC$ platí $|AC| = |BC|$. Na úsečke $BC$ je bod $F$ taký, že $|AB| = |AF| = |FC|$. Nájdite hodnoty vnútorných uhlov trojuholníka $ABC$. Úlohu riešte všeobecne a bez rysovania.

Tatko Zajko a Mamka Zajková spoločne organizujú večierok. Pozvali štyri ďalšie manželské páry (každý manželský pár sa samozrejme navzájom pozná). Tatko Zajko a Mamka Zajková nemusia nutne poznať každého pozvaného. Na večierku si podajú ruky tie dvojice ľudí, ktoré sa nepoznajú. Potom sa Tatko Zajko každého okrem seba opýtal, s koľkými ľuďmi si podali ruku. Každý mu povedal iné číslo. S koľkými ľuďmi si podala ruku Mamka Zajková?

V kruhu sedí niekoľko malých zajačikov. Prvý z nich povie: ,,Je nás tu 6‘‘ a vyskočí z kruhu preč. Postupne vyskakuje z kruhu ďalší a ďalší zajačik a vždy povie: ,,Všetci, čo vyskočili predo mnou, klamali.‘‘ Takto to pokračuje až kým v kruhu nebude sedieť ani jeden zajačik. Koľko zajačikov hovorilo pravdu? Nájdite všetky možnosti a svoje riešenie odôvodnite.

Na papieriku stálo, že štvormiestny PIN kód od dverí je zaujímavý:

• všetky jeho číslice sú prvočísla,
• 1. a 2. číslica v tomto poradí vytvorí prvočíslo
• 2. a 3. číslica v tomto poradí vytvorí prvočíslo
• 3. a 4. číslica v tomto poradí vytvorí prvočíslo

Obytný sektor má tvar štvorca $5 \times 5$ a každá miestnosť (štvorček $1 \times 1$) má priradené jednociferné číslo. V prípade núdze je potrebné vyfarbiť niektoré miestnosti tak, aby sa žiadna hodnota vyfarbenenej miestnosti nevyskytovala medzi nevyfarbenými hodnotami v žiadnom riadku ani stĺpci viac ako 1-krát. Ďalšou podmienkou je, že vyfarbené miestnosti sa nesmú dotýkať stranou a nevyfarbené musia tvoriť súvislú plochu (v nej musia byť všetky nevyfarbené miestnosti spojené stranou).

1. Ukážte, že ak je v obytnom sektore $5 \times 5$ hneď vedľa seba (v jednom riadku alebo jednom stĺpci) umiestnená trojica rovnakých čísel, musia byť obe krajné miestnosti zafarbené a naopak stredná nesmie byť zafarbená. Svoje riešenie poriadne zdôvodnite.
2. Ukážte, že v obytnom sektore $5 \times 5$ nesmie byť číslo, ktoré by sa nachádzalo medzi dvojicou rovnakých čísel v jednom riadku alebo stĺpci, a zároveň by bolo zafarbené. Svoje riešenie poriadne zdôvodnite.
3. Vyfarbite štvorec na obrázku tak, aby vyhovoval podmienkam zadania. Spíšte aj postup v bodoch ako ste postupovali a prečo.

Vybratých 5 zajacov sa zúčastnilo turnaja. Každý s každým odohral práve jeden zápas. Za výhru získava hráč $1$ bod, za remízu $0{,}5$ bodu a za prehru $0$ bodov. O turnaji vieme len to, že zajac s najvyšším počtom bodov nemal žiadnu remízu. Zajac, ktorý skončil ako druhý, žiaden zápas neprehral. A každý zo zajacov získal iný počet bodov. Koľko bodov získali jednotlivé zajace? Nájdite všetky možnosti a odôvodnite, že iné nie sú.

Fred a Henry hrajú hru, v ktorej si na začiatku Henry vymyslí dvojciferné prirodzené číslo. V každom ťahu potom Fred povie Henrymu nejaké prirodzené číslo $f$, ktoré je väčšie ako 1. Ak je Henryho číslo násobkom Fredovho čísla $f$, tak Fred vyhráva. V opačnom prípade Henry odčíta Fredove číslo $f$ od svojho aktuálneho čísla a hra pokračuje ďalším ťahom s novým číslom $f$. V momente, keď Henry dostane záporné číslo (číslo menšie ako 0), tak Fred prehrá. Ak je to možné, tak vymyslite ako má Fred hrať, aby vždy vyhral.

Máme $3 \times 7$ mín na mínovom poli rozmiestnených do tvaru štvorčekovej mriežky. Každá mína je ofarbená práve jednou z dvoch farieb. Ukážte, že nech sú míny ofarbené akokoľvek, tak v mriežke vždy existuje obdĺžnik so štyrmi mínami (vrcholmi) jednej farby. Rovnakej farby musia byť len vrcholy obdĺžnika.