Zadania seminára Malynar, 32. ročník - Letný semester


Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise Malynar-32-5
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise Malynar-32-6
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. V piesku je nakreslená cesta tvaru priamky, na ktorej sú nejak umiestnené štyri body predstavujúce mestá $A, B, C, D$ (nie nutne v tomto poradí) pričom $|AD|=1$, $|BC|=2$, $|BD|=3$, $|AB|=4$ a $|CD|=5$. Zistite vzdialenosť miest $A$ a $C$.
2. Na mape je 5 miest. Je možné tieto mestá spojiť cestami tak, aby z každého mesta vychádzali práve 3 cesty, pričom cesty sa navzájom nemôžu pretínať a platí, že z každého mesta sa nejakou trasou vieme dostať do každého iného? Dvojica miest môže byť prepojená nanajvýš jednou cestou a mesto nemôže byť spojené so samým sebou. Ak áno, ukážte ako, ak nie, vysvetlite prečo. A čo keby bolo miest 8?
3. O Prvom, Druhom a Treťom vieme, že každý z nich má iný počet rokov. Zároveň nám o nich bolo povedané:
  • Druhý je starší ako Tretí.
  • Tretí je starší ako Prvý.
  • Prvý je starší ako Druhý.
  • Súčet vekov Prvého a Tretieho je dvojnásobkom veku Druhého.
Práve jedno z tvrdení je nepravdivé. Určte, ktoré tvrdenie je nepravdivé a kto z chlap- cov je najstarší. Nájdite všetky možnosti a svoju odpoveď zdôvodnite.
4. V tme vyzeral pôdorys stanov ako dva štvorce $ABCD$ a $BEFG$ ako na obrázku tak, že $|AB| = |BE|$ a uhol $CBG$ má $60°$. Zistite veľkosť uhla $CFG$.
obrazok
5. Majme tabuľku $6×6$. Postava a Duke na nej hrajú hru. Striedavo na ňu umiestňujú dominá (dieliky s rozmermi $1×2$). Hráč prehráva vtedy, keď už do tabuľky nevie umiestniť domino. Kto z hráčov má víťaznú stratégiu a prečo? Čo ak by sme mali tabuľku $7×7$ a hráči by na ňu umiestňovali triminá s rozmermi $1×3$? Víťazná stratégia je postup, podľa ktorého, keď jeden hráč hrá, tak vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.
6. Heslo je 6-ciferné číslo, ktoré neobsahuje cifru 0 ani 1. Keď vezmeme všetky 2-ciferné podčíslia, ktoré sa v ňom nachádzajú (napr. pre číslo 123456 to sú 12, 23, 34, 45 a 56), tak sú všetky rôzne a platí pre ne:
  • Práve jedno z nich je deliteľné číslom 6.
  • Práve dve z nich sú deliteľné číslom 3.
  • Práve dve z nich sú prvočísla (prvočísla sú také čísla, ktoré majú práve dvoch deliteľov - 1 a samé seba).
  • Práve tri z nich majú obe cifry rovnaké.
Nájdite všetky možnosti, ako mohlo vyzerať pôvodné heslo a vysvetlite, prečo žiadne ďalšie nie sú.

Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise Malynar-32-5
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise Malynar-32-6
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
Pozri sa na pár tipov, ktoré ti pomôžu pri riešení.
1. Máme tri príšery. Príšery s párnym počtom nôh vždy hovoria pravdu a príšery s nepárnym počtom nôh vždy klamú. Zazneli výroky:
  • Argo: Bret má 6 nôh. Ja a Bret máme spolu párny počet nôh.
  • Bret: Ja mám 8 nôh. Chuck má 4 nohy.
  • Chuck: Bret a Argo majú spolu 15 nôh.
Kto má koľko nôh? Nájdite všetky možnosti a svoju odpoveď zdôvodnite.
2. Uzamknutie sa vypína zasunutím kombinácie kartičiek do terminálu. Máme kartičky s číslami od 1 do 8. Chceme nájsť štyri rôzne rozdelenia kartičiek do dvoch skupín tak, aby v oboch skupinách bol rovnaký súčet čísel na kartičkách a zároveň, aby počet kartičiek v skupinách bol rôzny (platí, že rozdelenie, kde by sme mali v prvej skupine kartičky $1,2,3$ a v druhej $4,5,6,7,8$, je to isté, ako keby sme mali v prvej skupine $4,5,6,7,8$ a v druhej $1,2,3$). Podarí sa nám to? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?
3. Kľučka má body $P$, $Q$, $R$, $S$ ako na obrázku. Platí, že $|PQ| = |QR|$, uhol $PSR$ má 110 stupňov, úsečka $PR$ delí uhol $SPQ$ na dve rovnaké časti a uhol $SPR$ je štyrikrát menší ako uhol $PRS$. Aká je veľkosť uhla $PQR$?
obrazok
4. Terminál na obrazovke mal tvar pyramídy ako na obrázku. Greg chce napísať čísla od 1 do 7 do krúžkov na obrázku (každé práve raz), tak, aby platilo, že súčet každých troch čísel na úsečke je rovnaký pre každú trojicu. Ktoré čísla môžu byť v hornom krúžku pri takomto vyplnení? Pre každé takéto číslo uveďte príklad vyplnenia. Vysvetlite, prečo ostatné čísla nemôžu byť v hornom krúžku.
obrazok
5. Sam za sebou vždy ťahá čiaru a hýbe sa nasledovne: Povieme mu číslo a on ho vydelí štvorkou tak, že dostane celočíselný podiel a zvyšok. Ak mu ostane zvyšok 1, pohne sa o meter na sever, ak 2, tak na juh, ak 3, tak na východ a ak 0, tak na západ. Následne postup zopakuje s celočíselným podielom, ktorý mu ostal. Tento proces opakuje až kým raz nedostane podiel 0 (vtedy urobí posledný pohyb). Aké je najmenšie číslo také, že ak ho povieme Samovi, tak nakreslí svojou trasou štvorec so stranou 1 meter? Prečo to pre žiadne menšie nefunguje?
6. Na úsečke $AB$ so stredom $S$ vyrástlo 100 dvojíc tulipánov tak, že pre každú dvojicu leží bod $S$ uprostred. Platí, že 100 tulipánov vykvitlo na červeno a 100 na žlto. Dokážte, že súčet vzdialeností žltých tulipánov od bodu A je rovnaký ako súčet vzdialeností červených tulipánov od bodu B.

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!