Arnošt, Klementína a Ervín pretekali na žltých autách a skončili na prvých troch miestach. Po pretekoch Uršuľa vyzvedala, kto ako dopadol.

• Arnošt povedal: Ja som dorazil do cieľa prvý. Ervín dorazil tretí.
• Klementína povedala: Arnošt nebol prvý. Ervín skončil druhý.
• Ervín povedal: Ja som do cieľa dorazil skôr ako Arnošt. Klementína nebola druhá.

Dosaďte za jednotlivé písmená číslice tak, aby platil naznačený súčet. Za rôzne písmená dosaďte rôzne číslice, za rovnaké písmená rovnaké číslice. Nájdite všetky riešenia a ukážte, že ďalšie neexistujú.

Školské átrium má tvar pravouhlého trojuholníka $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$. Na strane $AB$ je bod $D$ a na strane $AC$ sú v tomto poradí body $E$ a $F$ tak, aby $|AE|=|ED|=|DF|$. Vypočítajte veľkosť uhla $FDB$, ak veľkosť uhla $ABC$ je $70$ stupňov.
S touto úlohou vám môže pomôcť edukačné okienko v časopise, ktoré začína na strane 8.

Turnaja, na ktorom hral každý s každým, sa zúčastnilo šesť tímov. Za víťazstvo boli dva body, za remízu jeden bod a za prehru nula bodov. Na konci turnaja mali všetky tímy rovnaký počet bodov. Aký najmenší počet zápasov mohol skončiť remízou? Uveďte príklad, ako sa to mohlo stať, a ukážte, prečo to nemohlo byť menej.

Máme kladné celé číslo, ktoré je palindróm (palindróm je číslo, ktoré sa číta rovnako spredu ako zozadu, napríklad $12321$ alebo $1221$). Zároveň toto číslo dáva po delení číslom $4$ zvyšok $1$ a po delení číslom $25$ zvyšok $22$. Dokonca je najmenším možným takýmto číslom. Aké je to číslo? Svoju odpoveď zdôvodnite.

Pán E. Majl má červené, zelené a modré kamienky a prístroj, ktorý funguje nasledovne:

• Ak doň vhodíme dva kamienky rôznych farieb, tak nám z neho vypadne jeden kamienok tretej farby (napr. po vhodení červeného a zeleného dostaneme modrý).
• Ak doň vhodíme jeden kamienok, tak nám z neho vypadnú dva kamienky zvyšných dvoch farieb (napr. po vhodení červeného dostaneme modrý a zelený).

• a) Na začiatku máme iba 1 červený kamienok. Chceme získať práve 5 červených kamienkov (a žiadne iné). Koľko najmenej použití prístroja na to bude potrebovať? Napíšte, ako máme postupovať, a vysvetlite, prečo nám menej použití prístroja určite nestačí.
• b) Na začiatku máme 6 zelených a 7 modrých kamienkov. Môže sa stať, že budeme mať po opakovanom použití prístroja rovnako zelených a modrých kamienkov (a žiadne iné)? Ak áno, ako, ak nie, prečo?

Na vizitke bolo štvorciferné číslo, ktorého všetky cifry sú rôzne. Vieme, že prvá cifra je dvakrát väčšia ako druhá, ale dvakrát menšia ako tretia. Zároveň platí, že štvrtá cifra je rovná súčtu nejakých dvoch iných cifier. Nájdite všetky čísla, ktoré spĺňajú podmienky, a ukážte, že sú to všetky.

Mesto Balíkov nad Listom má pôdorys v podobe tabuľky ako na obrázku, kde v každom políčku je uvedená nadmorská výška, v ktorej sa dom nachádza. Súčet nadmorských výšok domov v každom stĺpci je rovnaký. Súčet nadmorských výšok domov je v každom riadku tiež rovnaký (nie nutne taký ako v stĺpci). V akej nadmorskej výške bude dom na políčku s otáznikom? Nájdite všetky možnosti a svoju odpoveď zdôvodnite.

Vrátnik Zavináč zbiera cukríky vo farebných obaloch. Má na ne $10$ škatuliek, pričom v každej z nich je nejaký nenulový počet cukríkov a neexistujú dve škatuľky, v ktorých by ich bolo rovnako veľa. Navyše ani v jednej škatuľke nie sú dva cukríky s rovnakým farebným obalom. Ukážte, že Arnošt vie vybrať $10$ cukríkov, z každej škatuľky jeden, tak, že nebude mať dva cukríky s rovnakým farebným obalom.

Za okrúhlym stolom sedia Apač, Cordélia, Ingrid a Medard. Apač vždy hovorí pravdu, Cordélia vždy klame. Ingrid hovorí pravdu, ak tesne pred ňou niekto klamal, a klame, ak niekto tesne pred ňou povedal pravdu. A naopak Medard hovorí pravdu, ak tesne pred ním niekto povedal pravdu, a klame, ak tesne pred ním niekto klamal. Ak Ingrid hovorí ako prvá, tak klame, a ak ako prvý hovorí Medard, tak hovorí pravdu. Pri stole, kde sedeli deti ako na obrázku, prebehol tento rozhovor:

• 1: Oproti mne sedí Ingrid.
• 2: 1 povedal pravdu.
• 3: Apač sedí oproti mne.
• 4: 3 neklamal.

Máme štvorcovú tabuľku $5\times 5$, v ktorej zafarbujeme políčka. Aký najmenší počet políčok nám stačí zafarbiť, aby platilo, že každý obdĺžnik s rozmermi $1\times 4$ alebo $4\times 1$ v tabuľke má aspoň jedno políčko zafarbené? Nakreslite jedno vyhovujúce zafarbenie pre tento najmenší počet políčok a vysvetlite, prečo menej zafarbených políčok nestačí.

Majme pravidelný šesťuholník a v ňom vpísané dva rovnostranné trojuholníky ako na obrázku. Určte, koľkokrát je obsah sivej časti menší ako obsah celého šesťuholníka.